A sas vagy a farok bukása pontosan megjósolható • Yuri Erin • Tudományos hírek a "Elemekről" • Fizika, matematika

A sas vagy a farok bukása pontosan megjósolható

Ábra. 1. A nem ideális érme háromdimenziós modellje. Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Sas vagy fark? Bizonyos körülmények között az érme dobásának eredménye pontosan megjósolható. Ezek a konkrét feltételek, amint azt a lengyel elméleti fizikusok nemrégiben bemutatták, nagy pontosságot jelentenek az érme kezdeti helyzetének és sebességének csökkenéséhez.

A sas vagy a farok eldobása egy érme dobálásakor klasszikus példája egy véletlenszerű folyamatnak, amely egy végső kimenetellel rendelkezik. Egy viszonylag friss cikk megjelent a lengyel fizikusoknál, akik elméletileg tanulmányozták ezt a jelenséget, és arra a következtetésre jutottak, hogy elvileg lehet pontosan megjósolni egy érme esésének eredményét.

Semmi rendkívüli a fizikusok számára ezt a problémát tanulmányozó módszerben. Először is, cikkükben egy érmét mutattak be sugárhenger formájában r és magasság (érme vastagsága) h (lásd 1. ábra)

Ezután a kutatók az érmét szilárd testként beszélték, amelynek tömegközéppontja megegyezik a geometriai központtal (az 1. ábrán a B és C pontokat össze kell kötni – egy 3D-s ideális érmét), vagy, a valósághoz közelebb, a geometriai koordinátákat a központ és a tömegközéppont különbözik (3D nem ideális érme – lásd 1. ábra).

A teljes analízis érdekében a szerzők nem csak 3D modellként tekintenék az érmét, hanem egy kétdimenziós (2D) verziót is egyszerűsítik, ami azt jelenti, hogy az érme vastagsága figyelmen kívül hagyható. h = 0. Miért lehetséges ez az alábbiakban?

Az érme bukását és az azt követő ütközést a felszínnel a Rodrigues-Hamilton paraméterekkel írta le. Ez a módszer a kvaternionkészülékek használatán alapul (az angol nyelvű irodalomban a Rodrigue-Hamilton paramétereit Euler paramétereinek nevezik, és nem szabad összekeverni egy másik leírási módszerrel – Euler-szögek, Euler-szögek). A kvaternion módszer előnye, hogy elkerüli a szingularitásokat a mozgásegyenletek megoldásának folyamatában (olvashatsz a quaternionok használatáról a szilárd test kinematikájának és dinamikájának leírására itt, PDF, 1 Mb).

A tudósok egy zloty méltósággal rendelkező érme bukását vizsgálták, amelynek tömege 2 g, 1,25 cm sugarú és 0,2 cm vastagságú volt, és számításuk során e paraméterekből származtak. Feltételezték, hogy az érme tömegközéppontját kissé el lehet tolni (a nem ideális érme 3D-modellje), vagy nem tolódhat el (ideális érme 3D-modellje).Hasonló lehetőségeket vettek figyelembe a 2D modellek esetében, amelyek egybeeső és nem egybeeső geometriai központtal és tömegközépponttal rendelkeznek.

Ábra. 2. Dot sebesség vektorA és a skalár komponenseit közvetlenül a felületen való ütközés után. Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Tehát hagyja, hogy az érme leesik a magasságból Z0 (vagyis a tömegközéppont kezdeti pozíciója (x0, y0, Z0)), a mozgás megkezdése előtt az űrben szögben van (ψ0, θ0, φ0), a vizsgált tárgy tömegközéppontjának kiindulási sebessége (ν0x, ν0y, ν0Z) és az érme kezdeti szögsebességét (ωξ0, ωζ0, ωη0). Érdemes megjegyezni, hogy az érme felületével való összeütközésének folyamata nem tökéletes (azaz nem teljesen rugalmas és nem teljesen rugalmatlan). Van egy helyreállítási arány χ <1, ami egyenlő ahol νAz és ν\’Az – vetületek a sebességpont z-tengelyén A közvetlenül a felülettel való ütközés előtt és után (lásd a 2. ábrát).

A levegő ellenállása egy érme ősszel és forgatásakor szintén figyelembe vehető. Ehhez speciális kísérletet végeztünk a normális meghatározására λn és tangenciális λτ (az érme forgatódik leeséskor) az ellenállási együtthatókat, amikor az érme esik. Ezek az értékek 0,8 és 0,2 értékűek voltak.A számszerű szimuláció eredményét (a mozgás egyenleteinek megoldását) a 3. ábrán mutatjuk be. 3.

Ábra. 3. Az érme bukásának numerikus szimulációjának eredménye: a) 3D tökéletlen érme b) 3d tökéletes érme c) 2D tökéletlen érme d) 2D tökéletes érme. Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Ezt követően a szerzõk az z-koordinátát (az érme aktuális magasságát) függõvé tették az esetleges enyhén változó kezdeti magasság esetén: Z0 = 0,40001 m (4a. Ábra), Z0 = 0,40002 m (4b. Ábra), Z0 = 0,40003 m (4c. Ábra), Z0 = 0,40004 m (4d ábra), Z0 = 0,40005 m (4e. Ábra) és Z0 = 0,40006 m (4f ábra). A fennmaradó kezdeti feltételek a következők voltak: x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0Z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 rad / s.

Ábra. 4. Az eredmények egy érme dobását egy magasságból a) Z0 = 0,40001 m, b) Z0 = 0,40002 m, c) Z0 = 0,40003 m, d) Z0 = 0,40004 m, e) Z0 = 0,40005 m és f) Z0 = 0,40006 m. Minden esetben x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0Z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 rad / s χ = 0,8. Ábra. a tárgyalt cikkből. A tengellyel párhuzamos egyenes vonalt, megfelel az érme tömegközéppontjának koordinátáinak, ha a felületen élek. Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Az érme részletes viselkedése, amikor a felülettel ütközik 1-1,5 másodperces mozgás tartományban, az 1. ábrán látható. 5.

Ábra. 5. Részletesebben az 1. ábrán látható grafikonok. 3, 1 és 1,5 másodperc közötti időintervallumban. a) Z0 = 0,40001 m, b) Z0 = 0,40002 m, c) Z0 = 0,40003 m, d) Z0 = 0,40004 m, e) Z0 = 0,40005 m és f) Z0 = 0,40006 m. Minden esetben x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0Z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 rad / s, χ = 0,8. Ábra. a tárgyalt cikkből. A tengellyel párhuzamos egyenes vonalt, megfelel az érme tömegközéppontjának koordinátáinak, ha a felületen élek. Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Innen egy sorozatot kapunk, amely bemutatja, hogy egy adott magasságból érkező pénzérmének az oldala megváltozik a megfigyelő vonatkozásában. Z0, minden egyes ütközés esetén a felületen:

H HHH HHH HHH T T T HH mert Z0 = 0,40001

H HHH HH TT HHH T T T mert Z0 = 0,40002

H HHH HHH HH H T T T T T mert Z0 = 0,40003

H HHH TTT TTT T H H H H H mert Z0 = 0,40004

H HHH HHH TTT HHH H T TT mert Z0 = 0,40005

H HHH HHHH TT T hhhhh TT mert Z0 = 0,40006.

itt H egy sas (fej), T – farok (farok), és a kör "elválasztja" az érme minden hatását a felszínig.

Érdekes módon, ahogyan azt a szerzők bemutatták, két mechanizmus van arra, hogy egy érme oldalát "átkapcsolják" egy sasról a farokra és fordítva (6. Ha egy érme szögletes lendülete kicsi, akkor az érme oldalainak megváltozása a "csörgő" ütközések nagyon rövid, exponenciálisan zérus csörgése következtében alakul ki (6a ábra, ezek a "csörgők" felelősek az azonos H vagy T – lásd fent); egyébként, ha az érme szögletes lendülete elég nagy ahhoz képest,Az érme oldalai közötti "váltás" a felszín fölött történik (6b. Ábra).

Ábra. 6. Kétféle érmeütközés alakulhat ki az érme oldalán: a) egy kis érzékenységű érme "csörgő" sorozata, b) ütközés az érme felületével nagy szögsebességgel. Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Általánosságban elmondható, hogy a kezdeti feltételek egyike (ebben az esetben az esés magassága) egy kis változása jelentős eltérést eredményez az érme pályáján, és ennek megfelelően a csapadék végeredményének változása. Ez különösen jól látható az érme tömegközéppontjának példáiban (7.

Ábra. 7. Az érme tömegközéppontjának pályái. A kezdeti feltételek ugyanazok (lásd a 3. és 4. ábrát). Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Összegezve az összes eredményt, a kutatók helyi következtetéseket vonnak le az érme mozgásáról:

1) ha a geometriai középpont és az érme tömegközéppontja közötti távolság nagyon kicsi, akkor az ideális érmék kétdimenziós modelljét is figyelembe lehet venni anélkül, hogy elveszítené a pontosságot (azaz nem veszi figyelembe a vastagságát);

2) ha az érme bukásának magassága például kicsi, például a fent leírt numerikus szimuláció példáihoz hasonlóan,a légellenállásnak nagyon gyenge hatása van a fellendülés eredményeire, ezért ez az ellenállás elhanyagolható.

Valójában, mindezen számítások, szimulációk és képek után, valószínűleg az olvasónak van egy kérdése: miért van egy sas vagy farkas vesztesége véletlenszerű folyamatnak nevezett?

A válasz az érme mozgásának "portrék" szakaszának elemzése. A tanulmány szerzői által használt egyenletek meghatározzák a hat koordináta (három Descartes + three angular) idő függését. Ha az összes kezdeti feltételt rögzítjük, kivéve például a két – Z0 és ωξ, – és ábrázolja az érme fázishelyét (nagyjából az államok készletét) különböző számú ütközés esetén, akkor a következő képet láthatjuk, melyet a 6. ábrán szereplő grafikonok láthatnak. 8.

Ábra. 8. A 2D ideális érme mozgásának fázisa "portrék", aminek két kezdeti paramétere van, a másik négy rögzítve, a sas esik (fekete területek), és amelyre a farkas (fehér területek) után nütközés a felületen. (a, e) n = 0, (b, f) n = 2, (c, g) n = 5, (d, h) n = 9. (A-D) – a levegő ellenállását figyelembe vették (E-h) – a légellenállást nem vették figyelembe. Ábra. a kérdéses cikkbőlFizikai jelentések

Itt a fehér területek jelzik azokat a kezdeti feltételeket, amelyek szükségesek a farok bukásához, a sas veszteségének fekete részeihez. Minél több érme ütközik a felszínnel, annál kisebbek a régiók méretei, ami azt jelenti aa kezdeti feltételek intervalluma egy egyértelmű eredménynek felel meg – egy sas vagy egy farok. Ne feledje, hogy ez csak kétdimenziós fázishely, vagyis csak két kezdeti feltétel változik. Természetesen nehezen ábrázolható a hatdimenziós tér (csak 6 kezdeti körülmény), de ez a példa elég ahhoz, hogy megértsük, milyen magas a pontosság a kezdeti feltételek meghatározásában – a legcsekélyebb változás nagyban befolyásolhatja a dobás végeredményét. A fizikusok ilyen esetekben azt mondják, hogy egy érme fázistere különös vonzerő (a furcsa vonzerő leghíresebb példája a Lorentz vonzerő).

Így, ha a kezdeti feltételeket megfelelő pontossággal állítjuk be ε, az érme bukásának eredménye előre látható. Csak arra kell kitalálni, hogy ez a "megfelelő pontosság".A lengyel tudósok arra a következtetésre jutottak, hogy az érme kiesésének sorrendje véletlenszerű lesz, ha az arány ε Wahol W – egy adott egyensúlyi érme területének szélessége. Amint az ábrán látható. 8, az arány ε W Az érme második ütközését követően különösen jól lesz a felület, míg az érme fázistere egy fraktálhoz hasonlít, ezért érdemes még beszélni a fázis tér "fraktálódásának" folyamatáról, amikor az érme ütközik a felszínnel.

A vizsgálat fő eredménye a következő. Bár a sas vagy a farok leesése közötti határviszonyok közötti különbség "sima", a gyakorlatban ez a különbség olyan kicsi, hogy nagyon nehéz megvalósítani ezt a tényt – a legkisebb pontatlanság a kezdeti feltételek meghatározásában bizonytalansághoz vezet a sas vagy a farok előrejelzése miatt (különösen ha a 2-nél nagyobb felületű érme ütközése).

Forrás: J. Strzałko, J. Grabski, A. Stefański, P. Perlikowski, T. Kapitaniak. A pénzmozgás dinamikája kiszámítható // Fizikai jelentések (2008. szeptember 7.); doi: 10.1016 / j.physrep.2008.08.003.

Yuri Yerin


Like this post? Please share to your friends:
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: