Caustics a gépen és az űrben

Caustics a gépen és az űrben

Andrey Nikolaevich Andreev,
Alexey Andreevich Panov
"Kvant" № 3, 2010

A kaustikumok a fény visszaverődéséből és fénytöréséből adódó optikai felületek és görbék. A kausztikákat olyan vonalaknak vagy felületeknek lehet leírni, amelyeken a fénysugarak koncentrálódnak.

Caustics a síkban (2D caustics)

Ábra. 1. Caustics, amikor egy körből tükröződik. Kép: "Quant" "border = 0>Ábra. 1. Caustics, amikor egy körből tükröződik. Kép: "Quant"

Először nézzük meg, mi történik, ha minden fénysugár és a görbe, amelyről tükröződnek, ugyanabban a síkban fekszenek. A legfontosabb példa a párhuzamos sugarak visszaverődése. Az itt felvetett maró hatású, fényes vonal, amelynek teteje a tükör teteje és középpontja között helyezkedik el (1.

Ábra. 2. Balra A tükören 14 sugár fut, a jobb oldalon – 102 gerendát, és a párosított metszéspontjukat jelölték. Kép: "Quant"

Ha egy parabola-val foglalkozunk, akkor a tengelye mentén párhuzamos összes sugár, a visszaverődés után egy ponton összegyűjtjük – a parabola fókuszát. Körhöz és egyéb tükrökhöz ez nem így van, a tükrözött sugarak egy ponton nem konvergálnak. De amikor egy párhuzamos sugár keskeny sugara tükörre esik, akkor a visszaverődés után konvergens lesz.Más szavakkal, a visszavert fény nem találkozik teljesen egy ponton, de közel sugarakból álló keskeny sugarak konvergálnak. Azok a pontok, amelyeken konvergálnak, az energia koncentrációjának pontjai, és a maró hatásúak. Ezek a megfontolások lehetővé teszik számunkra, hogy a maró hatásúak legyenek.

Induljunk el nagyszámú párhuzamos sugarat egy kerek tükrön. Ossza őket párba, és jelölje meg a sugarak metszéspontjait minden egyes párban a reflexió után (2. Ha növeli a sugarak számát, akkor a párok közötti metszéspontok közötti távolság csökken. A pontok közelebb kerülnek egymáshoz, és a határérték kitölti a kausztikus görbét.

Ábra. 3. A visszaverődő sugarak mindegyike érinti a kausztikát. Kép: "Quant"

Ez az egyik módja annak, hogy megértsük a maró hatását. Egy másik módja annak, hogy a kausztikusokat megértsük, rengeteg sugarat rajzol. Az így kapott kausztikus mintában, mint egy görbe, amely minden tükröződő sugarak érintése (3. Ez csak egy újabb megnyilvánulása a fényenergia ugyanazon koncentrációjának – mindegyik fénysugár érinti a marószert, ami azt jelenti, hogy az út jelentős része mentén halad és "energiát" ad.A vonal, amely megérinti a vonalak egy vonalának minden egyes vonalát, a család borítéka. Tehát a maró hatású fénysugarak borítása. Meg lehet mondani, hogy a kaustikus olyan mag, amelyen minden fénysugár fel van feszítve.

Hogyan lehet saját maga rajzolni az előző képeket?

Végezzük el a tükröt a teljes körbe (4. Aztán attól a ténytől, hogy az "incidencia szöge megegyezik a reflexió szögével", ebből az következik, hogy az akkordok AB és BA " , az incidens kivágott és a visszavert sugarak egymással egyenlőek. Így, egy iránytű segítségével rajzoljon egy kört a B ponttal és egy sugárral AB és jelölje meg metszéspontját a tükörponttal A 'majd az uralkodón, hogy visszatartsa a visszavert fényt BA ". Ha a számítógépet rajzolásra használják, akkor tudnia kell, hogy az egységkör (cos φ, sin φ) pontján a vízszintes (az x-tengelyhez tartozó) fénysugárral a φ szögkordinátával a vektor mentén irányul (-cos 2φ, -sin 2φ ). Ez lehetővé teszi, hogy rajzoljon minden visszavert sugarat. És ha még mindig szeretnénk a körből a maróhoz jutni, akkor a vektorhoz vezető távolság (cos φ) / 2. Így a maró hatású pontok koordinátái lesznek

Ez egy jól ismert görbe (ezt egy rögzített pont képezi egy körben, amely kettős kör mentén kanyarodik), saját neve van – nephroid.

Ábra. 4. akkord AB és BA " egyenlő, a visszavert sugár a vektor mentén van irányítva (-cos φ, sin 2φ). Kép: "Quant"

Az űrtartalom (3D caustics)

Minden sokkal bonyolultabb és sokkal érdekesebb a háromdimenziós térben. Az egyes visszavert fénysugáron két pont van az energia koncentrációja. Ebben az értelemben elmondható, hogy az űrben lévő kaustikus felület két lapból áll.

Például vegye be az alakzat fényvisszaverő felületét

Z = x2 + 2y2

és a z tengelyével párhuzamos sugárral felfelé világítsuk meg. Ha csak a repülőre szorítkozunk y = 0, akkor a reflexió a parabolából származik Z = x2 és a síkban x = 0 a reflexió egy parabolából származik Z = 2y2 . Ezek különböző parabolák, és ezekből a sugarak különböző magasságokban, a tengely különböző pontjain fognak összpontosítani Z. Az egyik pont a kaustikus felület egyik lapján fekszik, a másik pedig a másik felületen.

Ábra. 5. Reflection from plastic windows. Kép: "Quant"Ábra. 6. A nyomásesés miatt az üveg kanyarodik befelé. Kép: "Quant"

Az elmúlt években a világos tetragonális csillagok fényképei megjelentek az interneten az interneten (5.Ez a házakkal szemben elhelyezkedő műanyag ablakokból származó napfény visszaverődése. A műanyag ablakokban a rácsok közötti rés lezáródik, és a levegő részben kiszivattyúzódik. A nyomásesés miatt a poharak az üvegegység belsejében deformálódnak, és a 6. ábrán látható formát (a kép erősen megnyúlik a függőleges tengely mentén). Egy ilyen felület jól illeszthető egy függvénygrafikonhoz.

felvette a megfelelő állandókat k és m.

Ábra. 7. A kép a képernyőn – a ház fala – kis távolságra (és) és nagyobb távolságra (b). Kép: "Quant"

Ha egy ilyen felület egy korlátozott darabját – az "ablakot" a sugarakkal párhuzamos sugár kigyomja, és a tükröződő sugarak pályájára helyezi a képernyőt, akkor az ablakból rövid távolságra látunk egy képet a képernyőn, amelynek fő töredéke nyolcszögű csillag (7.és). A képernyő nagyobb távolságával négyszögletes csillagot láthatunk egy kevésbé fényes ovális háttér (7. ábra,b), amely megfelel a valódi fotóknak. Négy hiányzik a bal gerenda mintájához képest, mert a tény miatt a csillagot levágtákhogy a visszaverődést csak egy korlátozott felületről tekintjük – egy négyzet alakú ablakból.

Ábra. 8. Kétféle maró felület. Kép: "Quant"

Most magunkra vonjuk a maró felületet, amely megfelel ennek az optikai képnek. Ez valójában két lapból áll. A 8. ábrán a szín eltávolítja a marópontokat a visszaverő felületről: a kék pontok közelebb vannak hozzá, a vörösek távolabb vannak tőle. A caustikák egyik lapjának keresztmetszete nyolcszögletű csillag, a másik keresztmetszete a csillag körül levő ovális határa.

Ábra. 9. A fénytörés, a legfényesebb elem – négyszögletes csillag. Kép: "Quant"Ábra. 10. A víz felszínén fellobbant, buborék vagy meniszkusz szimulálása. Kép: "Quant"

A kausztikát nemcsak a visszaverődés, hanem a fény feltörése is meg tudja képezni, mondjuk a víz felszínén. A 9. ábrán reprodukált fényképeknél a nap sugarait a vízbe merülő tű felszíni feszültsége következtében a légbuborékon vagy a meniszkuszban megtörik. És itt és ott az alján egy kis négyszög csillag látható.

Tüntessük fel ezt a jelenséget egy refrakter felület megadásával (3.10) az egyenlet segítségével

Ábra. 11. A képernyőn látható kép a hajó alján található. Kép: "Quant"

Állítsa be az állandó értéket k és a nap sugarai α előfordulási szögét, és emlékeztet arra, hogy a víz esetében a törésmutató n = 1,33. A refrakciós törvény törvényének használata α = nA sin β segítségével kiszámíthatjuk a refraktált sugarak irányát – a β szöget – és ezért készítsünk egy képet, amelyen a sugarak a vízfelszín alatt elhelyezkedő képernyőn alakulnak ki – az edény alján. Ugyanaz az aszimmetrikus tetragonális csillag (11. ábra) jól látható, mint a fényképen (lásd a 9. ábrát).

Ábra. 12. A laza buborékban visszaverődéssel kialakuló kausztikus felület. Kép: "Quant"

És itt van a megfelelő maró felület a refraktt sugarak számára (12. A kék pontok a víz felszínéhez közelebb vannak, a vörösek pedig távolabb vannak tőle. A belső felület keresztmetszete négyszögletes csillag, a külső rész pedig az ovális határa, amely a csillagot tartalmazza.

Végezetül, ajánlásaink a további olvasásra.

1. Parabola és más görbék optikai tulajdonságai megtalálhatók A. G. Dorfman könyvében "A kúpos szakaszok optikája" (Népszerű előadások a matematikáról, kiadás 31. – M .: Fizmatlit, 1950).

2. A boríték egyenletének leírása megtalálható a B. könyvben.G. Boltyansky „Boríték” (Népszerű előadások a matematikáról, 36. szám – M .: Fizmatlit, 1961).

3. Végezetül olvassa el az eszköz maró görbék és maró felületek jellemzőit a V. I. Arnold könyvében "A katasztrófák elmélete" (M .: Science, 1990).


Like this post? Please share to your friends:
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: