A csoportelmélet a tökéletesség tudománya. Néhány kezdeti meghatározás és jelölés

Csoportelmélet – a kiválóság tudománya

Evgeny Vdovin

  • bevezetés
  • Néhány kezdeti meghatározás és jelölés
  • Csoport axiómák
  • Csoportos példák
  • következtetés

Néhány kezdeti meghatározás és jelölés

Megpróbálunk kevés formulát és speciális matematikai szimbólumokat használni, de nem tudjuk teljesen nélkülözni őket. A készleteket, főszabály szerint, tőkés latin betűkkel és azok elemeivel – kisbetűvel jelölik. ha A – Sok, és egy – valamilyen elemet, majd rögzít egy A olvasnia kell "elemet egy sok emberhez tartozik A", illetve bejegyzés egy A azt jelenti, hogy "elem egy nem tartozik a készlethez A“.

Emlékezzünk vissza, hogy a készlet, az elem és a tagság fogalmai a modern matematika alap-meghatározatlan fogalmai. Bármely készletet a benne lévő elemek határozzák meg (amelyek viszont változnak). Tehát azt mondjuk, hogy a készlet meghatározásra kerül vagy meghatározottha bármely elemre elmondhatjuk, hogy ez a készlethez tartozik-e vagy sem. Két készlet esetén A, B felvétel B A, B A, BA, B A, B \ A, A × B ennek megfelelően B a készlet egy részhalmaza A (vagyis bármelyik elem a B ben is szerepel Apéldául a természetes számok halmaza a valós számok halmazában található; mellett mindig A A), B a készlet megfelelő részhalmaza A (M. E. B A és BA), a halmazok metszéspontja B és A (azaz minden olyan elem, amely egyszerre fekszik Aés be Bpéldául az egész számok és a pozitív valós számok kereszteződése a természetes számok halmaza), a halmazok egyesülése B és A (vagyis olyan elemekből álló készlet, amelyek vagy a Aakár benne B), állítsa be a különbséget B és A (vagyis az elemek halmaza, amelyek benne vannak Bde ne hazudj A), A sorozatok Descartes termékét A és B (vagyis az alakzat párosait (egy, b) ahol egy A, b B). KeresztülA| mindig megjelölve teljesítmény készletek Aazaz a készletben lévő elemek számát A. A meghatározásokat mindig kiemelik. dőlt betűvel.

Nem tehetjük meg a leképezés, a kapcsolatok és az egyenértékűség fogalmát. Nem fogunk szigorú logikai meghatározásokat adni ezeknek a fogalmaknak, csak azokat magyarázzuk meg. kijelző egy olyan függvénynek tekinthető, amely egyetlen elemhez kapcsolódik (ún a prototípus) valami más elemet (ún mód). Az életben állandóan szembesülünk a megjelenítés koncepciójával, például színházi jegy megvásárlásával, így a kiállítás és a színházteremben lévő helyszín bemutatása között. Amikor fizetést kapunk, létrehozunk egy feltérképezést a hónap folyamán elvégzett munka és a fizetendő pénz között. A labdarúgó-csapatok játékosainak listájának tanulmányozása révén létrehozunk egy térképet a játékosok és a csapatok között, amelyekre játszanak. Így nagyon sok leképezés létezik, szinte az életünkben egy vagy másik leképezés. Különböző típusú leképezések vannak, majd a következő három típus kerül felhasználásra a szövegben: injektív leképezés (injekciót), surviszív leképezés (surjection) és bijektív leképezés (bijekciót). Az injektív leképezés olyan leképezés, amely különböző képeket térképez fel a különböző forráselemekhez. A surjectív leképezés olyan leképezés, amelyben minden kép prototípusú. Végezetül, a bijektív leképezés egy leképezés, amely mind injektív, mind injektív.

Hadd magyarázzuk fel ezeket a fogalmakat a jegyek sokasága és a színházi ülőhelyek sokasága közötti térképezés példájával.Képzelj el egy moziat a N megyében, ahol a Pajzs és a Kard ezerszer megy. Természetesen csak néhányan szeretnék látni, és csak egy pár vesz két jegyet a "Kiss Line" -on. Miután eljöttek a moziba, a pár, örömükre, rájön, hogy egyedül vannak itt, de mint iskolázott emberek, a helyüket a jegyek jelzik. Ebben az esetben a leképezés természetesen injektív, mivel a különböző jegyek különböző helyekre vonatkoznak. De ez nem vonzó, hiszen még sok üres helyünk van, amelyekért nem adtak el egyetlen jegyet sem. Így a nem-surjectív leképezés nyilvánvalóan nem kifizetődő a moziigazgatás számára.

Képzeld el most, hogy másnap, ugyanabban a városban ugyanabban a mozikban megígérte, hogy egy új kasszasikeret indít Tarantinóról, és arra utal, hogy maga Tarantino válaszolni fog a közönség kérdéseire a film után. Természetesen a jegypénztárak tele vannak emberekkel, és a menedzsment "tévedésből" két jegyet ad el ugyanazon a helyen. Nem fogjuk leírni a szétszerelést egy olyan hely miatt, ami a munkamenetben történt, csak azt vesszük észre, hogy a kijelző most surjetív, hiszen minden helyre adtak jegyet, de nem injektív, mivel két helyre van két hely.Így a nem injektív leképezés közvetlenül ellentétes a fogyasztók jogaival, és valószínűleg a "Fogyasztóvédelmi jogok védelméről" szóló törvény egy része alá tartozik.

Nos, az utolsó eset, nézd meg ugyanazt a moziat az N városban, 2006. január 1-jén. Az év elsõ filmje a közelmúltban új közönséget idéz elõ, de most az eddigi keserû élménnyel tanított menedzsment gondoskodik arról, hogy pontosan egy jegyet adjanak el minden munkamenetnek. Ennek eredményeként minden néző nyugodtan átveszi helyét, és minden munkamenet teljes házzal kezdődik. Így ez az utolsó példa egy injektív és egy surjectív elmélkedés, azaz egy bijection. Következésképpen a bijection az arany átlag, amely annyira előnyös az igazgatóság számára, és ugyanakkor a lehető legkényelmesebb a közönség számára. Ez a bijection koncepció éppen a szimmetria intuitív fogalmának matematikai formalizálása volt, amelyet a bevezetésben tárgyaltunk. Ezért nem meglepő, hogy ez egy bijection, amely a legtökéletesebb kijelző ebben az esetben.

kijelző a készletből A a készletben B hívj valamilyen szabályt, amelynek használatával minden egyes eleme A egy elemet illeszthet egy elemből B. Mappings általában görög betűkkel jelöljük és írjuk φ : ABés bármelyik elem képét egy A a megjelenítéshez képest φ rögzítésre kerül . Ilyen rekord kezdetben szokatlan és kényelmetlen az írófunkciókra (a leképezések speciális esetére) használók számára. φ(egy), de a bemutatásunk számára kényelmesebb lesz. Ha van 3 készlet A, B, C és adott leképezések φ : AB és ψ : BCakkor létrehozhat egy leképezést φψ : AC hogyan összetétel (egymás után végrehajtott) leképezések φ és ψ. Vegye figyelembe, hogy ha a baloldali kijelzőt rögzítettük, akkor a kompozíciót φψ balra kell olvasnunk, arab nyelven. A jövőben a következő speciális típusú térképekre lesz szükségünk: injekciót (kijelző φ : AB injektív, ha bármilyen más x, y A elemek , más is) surjection (kijelző φ : AB az úgynevezett surjective, ha bármilyen y B van ilyen x Ahogy = y), bijekciót (egyszerre befecskendezés és befúvás). Példák a racionális számoktól a racionálisig terjedő leképezésekre: xx3, xx2, xx/ 2. Az első injektív, de nem vonzó, a második nem sem vonzó, sem injektív, a harmadik pedig bijection.

A matematika másik fontos fogalma a fogalom kapcsolatok. A hozzáállás egy bizonyos szabályként értelmezhető, amely minden két elem (tárgyak, dolgok, élőlények stb.) Lehetővé teszi annak megállapítását, hogy e tekintetben vagy sem. Életünkben folyamatosan belépünk és valóban, sok-sok kapcsolatban vagyunk. Például a rokonság (különböző mértékű intimitás), a munkavállaló-munkáltató hozzáállása, a vezető-utas, az eladó-vevő viszonya stb. gondoskodva a természetükről.

Azt mondjuk, hogy valamikor A meghatározott R arányha bármelyik két elemre egy, b a A meg tudjuk mondani, hogy vannak kapcsolatban R vagy nem. Más szóval, a hozzáállás R van egy leképezés R : A × A → {1, 0}, ahol az 1 érték megfelel az "igaznak", és 0 – "false" értéke (vegye figyelembe, hogy az elemek sorrendje fontos egy és b).Általában a kapcsolatok jelölésére a speciális karaktereket ≡, ~, stb. A kapcsolat kényelmesen írt egy ~ bha egy és b vannak kapcsolatban R és egy bha egy és b nem kapcsolatban R. Kapcsolat ~ a készleten A ez az úgynevezett ekvivalenciávalha a következő axiómák teljesülnek:

(EKV1)
mindenki számára egy A csinált egy ~ egy (reflexivitás axiómája);

(EKV2)
mindenki számára egy, b a A a egy ~ b kell, hogy legyen b ~ egy (szimmetria axióma);

(EKV3)
mindenki számára egy, b, c a A a egy ~ b és b ~ c kell, hogy legyen egy ~ c (a tranzititás axiómája).

Példák a relációkra: a megbízás ≥ aránya a valós számok halmazán, a megosztottság aránya az egész számokra, a valós számok egyenlőségi viszonyára, a maradványok egyenlőségének aránya a természetes számok által meghatározott természetes számmal való megosztottság arányáról. Vegyük észre, hogy az első két kapcsolat nem egyenértékű, és az utolsó kettő. Van egy speciális név az utolsó relációhoz: egész számok m, n hívják összehasonlítható modulo k (írva mn (mod k)) ha nm osztva k.

Ha a készleten van A egy egyenértékűségi összefüggést kapva, akkor az egész készlet feloszlik egyenértékűségi osztályok – párhuzamos egyenértékű elemek részhalmaza, és bármelyik két osztály sem metszi, sem egybe nem esik. Tényleg, tegyük fel C1, C2 – két ekvivalencia osztály és metszéspontjuk C1C2 nem üres és tartalmaz néhány elemet x. Akkor minden elemre y C1, az egyenértékűségi osztály definíciója szerint x ~ y. Ezenkívül mindenki számára Z C2, ismét az egyenértékűségi osztály definíciója szerint Z ~ x. A tranzitivitás axiómája (feltétel (EKV3)) ezt megkapjuk y ~ Zeszközök C1 = C2. A készlet osztályainak sorozata A egyenértékűséggel ~ jelölve A / ~.


Like this post? Please share to your friends:
Csoportelmélet – a kiválóság tudománya ">
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: