A csoportelmélet a tökéletesség tudománya. Csoportos példák

Csoportelmélet – a kiválóság tudománya

Evgeny Vdovin

  • bevezetés
  • Néhány kezdeti meghatározás és jelölés
  • Csoport axiómák
  • Csoportos példák
  • következtetés

Csoportos példák

Az általános iskola számára ismert számcsoportok egész számok, racionális, valós, komplex számok hozzáadása, nem zéró racionális, valós, komplex számok szorzással. Mindegyik csoport abel. A csoportok másik fontos példája a következő konstrukció. enged X – tetszőleges szett és szimX – egy sor mindenféle bijection egy sor X magamról. Állítsa be a szorzást a Sym segítségévelX mint összetétel. Akkor szimX a kompozíció működése tekintetében egy csoport, és hívják szimmetrikus csoport az X halmazon vagy szubsztitúciós csoport (néha a permutációs csoport kifejezést is használják, de úgy tűnik, sikertelenek számunkra, többet erről az alábbiakban). Ha sok X természetesen és |X| = nakkor feltételezhetjük X = {1, … , n} és symX jelöli a symn. Ha a Ψ az összeállítás során megőrzött leképezések tulajdonsága, akkor a Sym csoport Ψ tulajdonságát kielégítő leképezések egy részhalmazaX a szimp csoport egy alcsoportjaX. Megmutatjuk, hogy a leképezések összetétele kielégíti az asszociativitás axiómáját (ГР1) (a többi axiómák ellenőrzése sokkal egyszerűbb, a bijekció meghatározásából következnek).Annak bizonyítására, hogy a térképek összetétele asszociatív, először meg kell érteni, hogy a térképek egyenlőek-e. A nyilvánvaló meghatározás ellenére gyakran nehézségeket okoz. kijelző φ : AB és ψ : AB (ahol A, B – önkényes készletek) egyenlőek, ha bármelyikre x A a képeket és egyenlőek. Most hagyd φ, ψ, χ SymX és x X. majd x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χmásrészt x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χamely bizonyítja a készítmény asszociativitását.

Ez a példa nemcsak nagyszámú különböző csoportot hoz létre (látni fogjuk, hogy az alább felsorolt ​​csoportok), hanem a csoportelmélet széles körű alkalmazását is. Bárhol van legalább valamilyen szimmetria (vagyis egy bijekció), a csoportok azonnal felmerülnek. A konstrukció problémái egy iránytűvel és egy vonalzóval, a radikális algebrai egyenletek megoldhatóságával, a primitívek differenciálegyenletével stb. Természetesen csökkenthetők a csoportelméletben. Különböző kombinatorikus problémák csökkentik az egyes tulajdonságokat kielégítő objektumok számát, és ismét a csoportelméletet.

ha G – csoport X – beállítani és adott homomorfizmust φ : G → SymXmajd mondja meg a csoportot G az X-es sorozatban működik. Ha Ker (φ) = {e}, az akció neve pontos. A "megkönnyítés" jelölést azonosítjuk g az ő képével és önkényes x X a kép viszonylag nagy rögzíti xg. Egy egyenértékűségi összefüggést vezetünk be X a szabály szerint: elemek x, y X ekvivalensek, ha ilyen g Ghogy xg = y. Az ekvivalencia osztályokat hívják pályák csoportok G. Azt mondják, hogy a csoport G jár átmenetileg (és a bemutató tranzitív), ha csak egy pályára van szükség. homomorfizmus φ : G → SymX ez az úgynevezett helyettesítő ábrázolás csoportok G (pontosan a "permutációs reprezentáció" kifejezés miatt a "permutációs csoport" kifejezést sikertelennek tekintik, mivel a "permutációs reprezentáció" kifejezésnek más jelentése van). Ha Ker (φ) = {e}, megjelenik a prezentáció pontos.

Vegyünk egy tetszőleges csoportot. G és alcsoportját H. csoport G egy alcsoporton lévő szomszédos osztályok csoportjával működik H a jobb oldalon szorozva: (Hg1)g2 = H(g1g2). Így tranzitív reprezentáció van φ : G → SymG / H. ha H nem tartalmaz a csoport normál alcsoportjait Gakkor ez a prezentáció pontos. Különösen, ha H = {eez a bemutató G → SymG/ % = SymG mindig pontos és hívott szabályos csoportos bemutató G. Így bármely csoport szubsztituens csoportnak tekinthető. Kiderül, hogy egy csoport bármely tranzitív ábrázolása G így juthat el.


hogy megértsük a következő szöveget, meg kell ismernünk az egyetemi algebra kurzust

A csoport következő példája a vektorterekből származik. enged V – vektor tér a mező felett F (Nem fogok megadni vektor tér és mező definícióját, a vektortér egy példája sík, és egy mező példája a racionális számok halmaza a hozzáadás és a szorzás szempontjából). A vektortér nem degenerált lineáris transzformációinak halmaza V csoportot alkot, és hívják általános lineáris csoport (GL (V)). Könnyű ellenőrizni, hogy ugyanazt a dimenziójú vektorteret n ugyanabban a mezőben izomorf a hossztengelyek téréig n, és a nem degenerált lineáris transzformációk halmaza megegyezik a nem degenerált mátrixok készletével. Ebben az esetben az általános lineáris csoport GL-ként van írvan(F).Valójában ez a példa nem szigorúan új, mivel a GL (V) ≤ SymV. Ugyanakkor a csoportok e csoportjának fontossága a kiválasztás miatt külön példában. homomorfizmus φ : G → GLn(F) lineáris ábrázolás csoportok G a mezőn F fok nés helyet V ez az úgynevezett G-modul. A bevezetőben említett gömb szimmetrias csoportja egybeesik a háromdimenziós tér összes olyan lineáris transzformációjának csoportjával, amely megőrzi a vektorok hossza közös ortogonális csoport.


A csoportok harmadik példája a következő. enged X = {x1, x2, …} valamilyen ábécé (véges vagy végtelen). Töltsük fel a formai szimbólumokkal. X-1 = {x1-1, x2-1, …}, és fontolja meg a szavak sorát az ábécében X X-1. Bemutatjuk a transzformációkat:

(1)
karakterek törlése xénxén-1 vagy xén-1xén;

(2)
adj hozzá bármely hely szót szavakat xénxén-1 vagy xén-1xén.

Két szó u, v akkor egyenértékűnek nevezzük, ha van egy olyan (1) vagy (2) típusú transzformációs lánc, amely egy szót átfordít a másikba. Az ekvivalenciaosztályok halmazánál meghatározzuk a szorzási műveletet úgy, hogy egy szót egy másik végére hozzárendelünk. Ezután egy csoportot hívunk fel szabad csoport és jelölik F[X], és ennek a csoportnak az elemeit hívják szavakkal. A konstrukció univerzalitásának köszönhetően a formális nyelvek (pl. Programozási nyelvek) tanulmányozásához elengedhetetlenek a szabad csoportok, valamint a kódolási elmélet, az elismerés stb. Különböző egyéb feladata. A "szabad" kifejezés annak a ténynek köszönhető, hogy ha van egy tetszőleges csoportunk G és van egy ilyen részhalmaza is Mhogy M = Gakkor sok szót megfontolhatunk X állapotbanX| = |M| és akkor van egy homomorfizmus φ : F[X] → G. A homomorfizmus kernele Ker (φ), amelyeket néhány szóösszetétel generál R és csoportos felvétel G formájában G = < X|R > hívott a csoport feladata, amely meghatározza és létrehozza a kapcsolatokat. Talán ez a legabaltabban módja a csoport hozzárendelése, és ezáltal a legnehezebb. Nem adunk itt példákat az így definiált csoportokra.


Like this post? Please share to your friends:
Csoportelmélet – a kiválóság tudománya ">
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: