A csoportelmélet a tökéletesség tudománya. Csoport axiómák

Csoportelmélet – a kiválóság tudománya

Evgeny Vdovin

  • bevezetés
  • Néhány kezdeti meghatározás és jelölés
  • Csoport axiómák
  • Csoportos példák
  • következtetés

Csoport axiómák

Ebben a szakaszban a szöveg nem kezdődik meg . A következő két bekezdés az utolsó bekezdés, melyekre az olvasás nem szükséges különleges erőfeszítéseket tenni.

Tekintsük ugyanazt a moziat a megyei N városra, és feltételezzük, hogy az egyik ülésen a közönség nézőpontja szerint jegyek cseréjét szabályozta. Például minden sor első helye megváltozik a második, a harmadik a negyedik és így tovább, így mindenkinek az egyik oldalán "sajátjaival" marad – mindenkinek van jegye, másrészt – mindenkinek sikerült megváltoztatnia helyét. Ha most egy másik szabály szerint cserélünk, akkor a harmadik, akkor az eredmény – mindenkinek pontosan egy jegye van – nem változik meg. Ebben az esetben a leszállás sorrendje meglehetősen nagyban változhat, mint a kezdeti. Így az ilyen átalakítások sok hely szimmetriája (vagy pontosabban sok néző), és függetlenül attól, hogy hányszor hajtjuk végre őket, a fő jellemző, hogy minden nézőnek pontosan egy jegye van, nem változik meg.Ha a jegyváltás egymást követő végrehajtását "szorzásnak" nevezik (bár nagyon messze van az igazi szorzástól, amelyre mindannyian megszoktuk), akkor az ilyen "sokszorosítással" rendelkező cserekészletek nagyon fontos algebrai szerkezetet alkotnak – egy csoportot. Általában bármelyik csoport egy olyan szimbólum (szett) szimmetriája, amelyen a szorzás megadható, és csak a jegycserékkel történt – szekvenciális végrehajtás.

Így egy objektum szimmetria csoportja annál nagyobb, annál szimmetriája van. Emlékeztetve arra, hogy minél több szimmetria, annál tökéletesebb az objektum, akkor azt kapjuk, hogy a szimmetriacsoportok mérete szerepet játszik egy adott objektum tökéletességének méretében. Tekintsük a rendszeres alakzatokat a síkra: háromszög, négyzet, hatszög és kör. Ezek szimmetrikusak, de szimmetrikusak. Tehát a háromszögnek csak hat szimmetriája van: a tömegközéppont körüli forgás (a mediánok metszéspontja) olyan szögben, amely 120 fokos többszöröse (ilyen 3 fordulatok), és egy visszaverődés bármely medianához képest (3 ilyen visszaverődés is van). A négyzetnek már van nyolc szimmetriája: a centrum (az átlós metszéspontja) körforgása olyan szögben, amely többszörös 90 fokos (már 4 ilyen fordulattal)és a szimmetria bármelyik átlóval szemben (kettő közülük) és minden egyenes vonalat, amely összeköti a négyzet egymással ellentétes oldalainak középpontjait (ezek közül kettő is van). A hatszögnek már van 12 szimmetriája (az olvasónak mindegyikét felsoroljuk), és a szimmetriák körének végtelen száma van – ez egy fordulat minden szögben és szimmetria a kör közepén áthaladó bármely vonal tekintetében. Így a legtökéletesebb alak egy kör, majd egy hatszög, majd egy négyzet és a legkevésbé tökéletes alak egy háromszög.

a végére

enged G – egy tetszőleges halmazt, és azt feltételezi, hogy bináris (kettős, két argumentumról) műveletet kap "·", amelyet általában " szorzássalamely bármely két elem esetében egy, b ennek a készletnek egyedülállóan hozzásegíti hozzájuk az általuk jelölt elemet egy · b vagy csak ab. Ezzel az elemekkel ab ez az úgynevezett a termék elem egy és b. Ha a következő három feltétel is teljesül (ún csoportos axiómák):

(Tr1)
minden háromnál egy, b, c a G igaz egyenlőség (ab)c = egy(bc) (az asszociativitás törvénye);

(GR2)
van egy ilyen elem ehogy minden tételnél egy a G igaz egyenlőség ae = ea = egy (egy egység létezése); ilyen elem e ez az úgynevezett egyenként csoport;

(GR3)
minden tételhez egy a G van egy ilyen elem bez az igaz egyenlőség ab = ba = e (fordítva); ilyen elem b ez az úgynevezett fordítva a és azt jelöli egy-1;

akkor sokat G a szorzási műveleti formákhoz képest a csoport. Ha egyidejűleg még egy axióma teljesül:

(GR4)
minden tételhez egy, b a G igaz egyenlőség ab = ba (komutativitási törvény),

akkor a csoport neve kommutatív vagy Abel. Különböző csoportok példái, valamint a csoportok megjelenésének természetes helyzetei, amelyeket alább sorolunk fel. Nyilvánvaló példák az egész számok összeadása, a nemzero racionális számok halmaza szorzással stb. A csoportos axiómák számos egyszerű következményét jegyezzük meg: az egységelem és az inverz elem egyedileg meghatározott. Tény, hogy két egységelem van e1, e2, akkor az axióma (GR2) alkalmazása adja a következő egyenlıségi láncot e1 = e1e2 = e2. Hasonlóképpen, ha valamilyen elemhez egy két inverz b1, b2, akkor az axiómák (GR1) – (GR3) használatával kapjuk meg a következő egyenlőségi láncot b1 = b1e = b1(ab2) = (b1egy)b2 = eb2 = b2.

ha M – a csoport önkényes részhalmaza Gakkor megfontolhatjuk a szaporítási műveletet a készleten M, amely egy feltérképezés ·: M × MG. Működés egy készleten M hívni fogjuk indukált működését. részhalmaza H csoportok G ez az úgynevezett alcsoportha ez önmagában egy csoport az indukált művelet szempontjából. Könnyen ellenőrizhető, hogy egy alcsoport egy alcsoport, ha a termékhez képest zárva van (azaz két h1, h2 H az elemet h1 · h2 újra benne van H) és zárva van a fordított (azaz bármelyikhez) visszahúzás tekintetében h H az elemet h-1 újra benne van H). Röviden írva HH H és H-1 H. További nyilatkozat "H egy csoport alcsoportja G"Röviden leírjuk a következőket HG.

enged G önkényes csoport H – alcsoportja és g – önkényes csoportelem G. Sok Hg = {hg | h H} Nevezzük szomszédos osztály (jobb szomszédos osztály) elem g. Bemutatjuk a kapcsolatot g1g2 (mod H) a csoport elemeinek halmazán G a szabály szerint: g1g2 (mod H) ebben és csak akkor, ha Hg1 = Hg2. Az egész számra való oszthatóság arányához hasonló jelölés (lásd fent) nem véletlen, mivel a megosztottság viszonya a szomszédos osztályok egyenlőségének speciális esete. Valóban, mint csoport G a készülék készen van egész számok hozzáadása, valamint alcsoportként H egy részhalmazot veszünk k számokat oszthatunk meg k. Nyilvánvaló, hogy az általunk definiált kapcsolat egy egyenértékűség, az ekvivalenciaosztályok halmazát jelöli G / HerőG / H| az ekvivalenciaosztályok halmazát is jelöliG : H| és hívják index szerint alcsoportok H egy csoportban G. Nyilvánvalóan bárki számára g G tisztességesHg| = |Hahol azonnal fontos szerepet kapunk Lagrange tétel: |G| = |G : H| · |HKülönösen az alcsoport sorrendje mindig osztja meg a csoport sorrendjét.

A készleten G / H Természetesen meghatározhatja a szorzást: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2. Annak érdekében, hogy a definíció helyes legyen, azaz hogy a készletek egyenlőségét Hg1 · Hg2 = {h1g1 · h2g2 | h1, h2 H} és Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | h H}, szükséges és elegendő, hogy mindenki számára g G az esélyegyenlőség teljesült g-1Hg = {g-1hg = h | h H} = H (ezt a feltételt jegyezzük le HG H). kifejezés g-1Hg ez az úgynevezett konjugáció az elem használatával g és gyakran jelölik Hg. kifejezés az üvegházhatást okozó gázok-1 = Hg-1 rögzítjük gH. alcsoport Hkielégítve az állapotot HG HEz az úgynevezett normális a csoport alcsoportja G (megjelölve: H G) és a kapott csoportot G / H ez az úgynevezett faktorcsoportot csoportok G alcsoportonként H. A normál alcsoport és a faktorcsoport fogalmai elméletileg a legfontosabb csoportok közé tartoznak, mivel részlegesen csökkentik a csoportok kisebb csoportokra való tanulmányozását (részben, mivel H és G / H a csoport G kétértelműen meghatározva). Olyan csoportot hívnak meg, amely nem tartalmaz normál alcsoportokat egyszerű.

Nyilvánvaló, hogy bármely alcsoport metszéspontja ismét alcsoport. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az M által generált alcsoportot, mint egy alcsoportot tartalmazó legkisebb alcsoport Mvagyis egy csoport összes alcsoportjának metszéspontját Gsokakat tartalmaz M. A készlet által generált alcsoport Mjelezni fogják M. Könnyű ellenőrizni M egy sor különböző elemekből álló termék M és vissza őket. Egy csoport által létrehozott csoport egy ez az úgynevezett ciklikusés rendeléseegy| : = |egy| ez az úgynevezett rendben elem egy. Könnyű ellenőrizni, hogy egy elem sorrendje a legkisebb szám. namelyre vonatkozóan jelentése e. A Lagrange-tételből következik, hogy egy elem sorrendje mindig osztja a csoport sorrendjét.

A szakasz végén bemutatjuk a csoportok izomorfizmusának fogalmát. ha G, H – csoport, majd leképezés φ : GHmegőrző művelet (azaz mindenki számára) g1, g2 G kész (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) homomorfizmus, állítsa Ker (φ) = {g G | = e} Nevezzük a homomorfizmus kernele, és sokan = { | g G} Nevezzük kép a homomorfizmus. Ha Ker (φ) = {e}, és = Hazaz ha φ egy bijection, majd a mapping φ ez az úgynevezett izomorfizmusés csoportok G és H izomorf (jelölve: G H). A homomorfizmus tétele ezt állítja H = Ker (φ) – normál csoport alcsoport G és G / H. Az isomorfizmust úgy lehet gondolni, mint az ilyen "hasonlóság" két csoportra, amelyeket nem különböztetünk meg közöttük (bár a valóságban lehetnek különböző készletek). Így az elmélet, szigorúan, tanulmányozza a csoportok izomorfizmusának osztályait. Vegyük észre, hogy a mindennapi életben gyakran többé-kevésbé magas absztrakciójú isomorfizmusokat hozunk létre. Így például van egy bútor izomorfizmus-osztály, amelyet a "ruhásszekrény" fogalomnak neveznek, és mi bizonyos jelek alapján egyértelműen meghatározzuk, hogy egy adott tárgy "szekrények" -hez tartozik vagy sem. Ha nincs ilyen magas szintű absztrakció, alacsonyabb szintre esünk, és elkezdjük megosztani a szekrényeket "konyha", "könyv", "szekrény" stb.A csoportok izomorfizmusának koncepciója csak az az eszköz, amellyel az absztrakciós szintünkben megkülönböztetünk vagy azonosítunk tárgyakat.


Like this post? Please share to your friends:
Csoportelmélet – a kiválóság tudománya ">
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: