"Kemény" csempék • Khaidar Nurligareev • Népszerű tudományos feladatok a "Elemeken" • Matematika

“Kemény” csempék

feladat

Könnyen csempézheti a síkot azonos háromszöglemezekkel (1. ábra, balra). Ez a séma minden háromszögre alkalmas. Azt mondhatjuk, hogy ez a burkolat "nem merev" abban az értelemben, hogy ha kissé megváltoztatjuk a háromszögek arányait (még mindig egyenlőnek kell lenniük), akkor a síknak a séma szerinti csempézését (1.

Ábra. 1.

De másképp történik. Nézd meg a képet. 2: itt is minden háromszög megegyezik, de ez a séma csak a teljesen háromszögek teljes mértékére vonatkozik. Azt mondhatjuk, hogy egy ilyen billentés "kemény".

Ábra. 2.

a) Feltéve, hogy a 3. ábrán látható háromszögek mindegyike. 2 egyenlő talál azok szögeit és képarányait. Bizonyítsd behogy az ábrából egyértelműen meghatározzák.

b) Gyere fel "kemény" csempézés egyenlő konvex négyszögek.

c) Gyere fel egyenletes ötszög "kemény" csempézése (nem feltétlenül konvex).


Tipp 1

a) Annak megszerzéséhez, hogy a háromszög szögének meg kell felelnie, elegendő azt a tényt használni, hogy az egyes csúcsok szomszédsága szögek összege 360 ​​°. Ha oldalakat keresünk, akkor célszerű figyelembe venni a szomszédos háromszögek több oldaláról kialakított szegmenseket.

Ne feledje, hogy a szögek és oldalak egymástól függetlenül nem változnak egymással, egymással összefüggnek. Továbbá a szögek és a képarányok közötti kapcsolat egy-egy. Valójában, tudva a képarányt, meg tudja határozni a szögek értékét a koszinusz tételével. És tudva a szögeket, akkor a képarányt a szinusz tétellel találja. Így a probléma megoldásához elegendő csupán két egyenletet találni az oldalakon vagy szögeken.


2. tipp

b), c) Az alapötlet az alábbi. Annak érdekében, hogy a csempézés "kemény" legyen, a benne lévő ugyanazon csempe másolatainak a lehető legtöbb irányban érintkezniük kell egymással. Ezután minden ilyen módszer néhány egyenletet ad a szögekhez és oldalakhoz, és több egyenletet – a kevésbé szabadságot.

Számos módja van arra, hogy megpróbáljunk egy olyan lapkát felépíteni, amelynek másolatai különböző módon alkalmazhatók egymásra. Az egyik az, hogy bizonyos jellegzetes korlátokat szabjon a csempe számára. Például keresse meg azt a párhuzamos oldalú poligonok osztályában. Vagy a csempe között, mely oldalak egyenlők. Szintén jó ötlet lehet a 360 ° -os szétválasztó szögek és azok többszöröseinek vizsgálata.

Egy másik lehetséges megoldás az, ha megpróbálunk már ismert csempéket használni, például a 6. ábrán. 3. Ezután meg kell próbálnia új csempe készítését több csempéből vagy csempékből, amelyek szerepelnek az eredeti burkolatban. És csak ezután a másolatokból a kapott csempe, hogy megállapítsa a "kemény" burkolat, amelyek körvonalai, amelyek az eredeti burkolat fogják találni.

Ábra. 3.


döntés

a) Jelölje meg a háromszög alakú csempe oldalát és sarkait, amint az a 6. ábrán látható. 4. A négy háromszög (a 4. ábrán középen) oldalán kialakított szegmens vizsgálata lehetővé teszi számunkra, hogy az oldalakhoz arányt kapjunk: egy + c = 2b. És a tetején, ahol három háromszög konvergál (a jobb oldalon a 4. ábrán), megértjük, hogy 2γ = 180 °. Így γ = 90 °, vagyis a háromszög négyszögletes. Ezért kielégíti a pitagorai tételt: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Ábra. 4.

Most, hogy megtalálja a kívánt kapcsolatokat, elég egyszerű számításokat:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Innen jutunk el

% = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = 4 (ca) \ quad \ \ dfrac % %. \]

Ennek megfelelően a háromszög szögei egyenlőek \ (\ beta \ \ \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \ \ archcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ kör}

b) Tekintsünk egy négyszögletes és egy jobb háromszögből álló négyszögletes trapézet, amely egyenlő a négyzet felével (5. A trapéz másolatai sokféleképpen csatolhatók egymáshoz.Mivel azt szeretnénk, hogy a keletkező burkolat "kemény" legyen, kezdetünkre olyan konfigurációkat kell készíteni a megadott trapézlemezekből, amelyek az oldalirányú kapcsolatokat és a trapézszögeket egyedileg határozzák meg. Ezt könnyű elérni. Például a 4. ábra szerinti négy csempe figurájának összeállítása. 5, akkor elérjük a egyenlőséget γ = δ = 90 °, és miután tett egy keresztet nyolc csempe, megkapjuk a feltétel a = 45 °. Ha három csempe közül az ábrán látható ábra összegyűjti. 5 a jobb oldalon, majd az egyenlőség 2egy = b.

Ábra. 5.

Nyilvánvaló, hogy ha egy négyszög megfelel a fenti négy egyenlőségnek, akkor bizonyosan a négyszögletes trapéz alakja. Ezért minden olyan csempézés, amelyben a fent említett konfigurációk találkoznak, minden bizonnyal "kemény" lesz, abban az értelemben, hogy ugyanabból a séma szerint nem lehet a csempét más négyszögből dobni. Számtalan hasonló csempés van; ilyen például az 1. ábrán látható csempézés. 6.

Ábra. 6.

Megjegyezzük, hogy bár a 3. ábrán a csempézés nem megfelelő. 6 "kemény" definíciónknak megfelelően könnyen deformálódhat: szabadon mozoghat a csempe,ugyanazon vízszintes vagy függőleges sorban helyezkednek el a megfelelő egyenes vonal mentén. Ez elkerülhető úgy, hogy más módon hozzáadja őket. Például, amint azt az 1. ábra mutatja. 7.

Ábra. 7.

c) A 2. ábrán látható csempék középpontjában a szivattyúk középpontjában áll. Ábra és 6. 7, akkor kitalálni a hagyományos parketta négyzetek (3. ábra, jobbra). Megmutatjuk, hogy hasonló módon egy "kemény képet" kaphatunk a nem domború ötszögekből, a jobb csuklós háromszögek használatával (3. Ábra balra). Ehhez vegyen egy csempe két rendszeres háromszögből és két további háromszögből álló félből (8. ábra balra).

Ábra. 8.

Az előző bekezdéshez hasonlóan először négy olyan konfigurációt határozunk meg, amelyek meghatározzák az egyedülállóan figyelembe vett lapot. Ezek a 3. ábrán láthatók. 8. Az első közülük az ε = 90 ° szöget állítja be. A második lehetővé teszi a 3γ + 2ε = 360 ° reláció megírását, és mivel az ε szög már rögzített, kapunk γ = 60 °. Hasonlóképpen a harmadik konfiguráció adja az α + γ + 3ε = 360 ° egyenlõséget, ahonnan α = 30 °. Végül az utóbbi konfiguráció lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük, hogy β + 2γ = 360 °, vagyis β = 240 °. Ami a δ szöget illeti, azt a tényt határozza meg, hogy az ötszög szögeinek összege 540 ° és δ = 120 °.

Ábra. 9.

Kiderül, hogy csak az ábrán látható közepén látható konfiguráció látható. 8, elég az egyenlőségért b = e = egy = d. Ezért a fenti négy konfiguráció valóban egyedileg határozza meg a pentagonális csempe. Így továbbra is példát kell mutatnia a csempézésre, amely magában foglalja mindegyiket. A konstrukció során a csíkok konstrukciójának ötlete segít: először a csempeink másolatával végtelen szalagot hozunk létre, amely önmagára alkalmazható (9. Ezután az egész síkot ilyen sávokkal fedjük le (10. Megjegyezzük, hogy széles körben alkalmazható a csíkok tervezése: egy hasonló "csíkos" szerkezetnek mindkét burkolata van, amit a pont megoldásakor építettünk b)és általában minden periodikus burkolat valójában zenekarokból áll. Azonban az eset nem korlátozódik az időszakos csempékre (amint azt például a Polamimina Parqueta probléma is mutatja).

Ábra. 10.

Példánkban a csempe nem konvex, de ez egyáltalán nem előfeltétele a "kemény burkolat" létrehozásának. Vegyük figyelembe az ábrán látható ötszögletes csempe. 11 – négyzetből és két jobb háromszögből áll, kisebb szögben 22,5 °.Kiderül, hogy egy ilyen csempe másolatai szintén "kemény út" síkban csempézhetők, ahogy az a 6. ábrán jobbra látható. 11. Igaz, ez valamivel nehezebb bizonyítani, mint a korábban tapasztalt csempék "merevsége". Mindazonáltal mutassuk be a bizonyíték főbb pontjait.

Ábra. 11.

Először is, attól a rendszertől, amely szerint a burkolólapok egymásra vannak helyezve, egyértelmű, hogy az oldalak kielégítik a kapcsolatokat egy = e = b és c = b + d. A sarkoknál négy egyenletet lehet összeállítani, amelyekből nyilvánvaló, hogy α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° és β + 180 ° = 2γ. Ezért a φ = δ / 2 szög beírásával a másik szöget is ki tudjuk fejezni:

\ varphi, \ quad \ delta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Most a fő ötlet a következő. Annak érdekében, hogy a csempézés "kemény" legyen, szükséges, hogy a szabadság fokozatai ne legyenek. Jelenleg a csempe két paraméterrel változtatható: szög φ és képarány egy és d. Azonban ezek a változások nem lehetnek önkényesek, mivel a paraméterek egymással összefüggnek. Ha a kapcsolat jellegének elemzését követően azt mutatjuk be, hogy csak egy véges számú lehetséges szög és képarány van megvalósítva ehhez a sémához, akkor azonnal követni fogja, hogy a kívánt csempézés "kemény".

Bemutatjuk a jelölést az ábra alsó bal oldalán. 11. Mert CDEF – egyenlő oldalú trapéz, majd bázis

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Ezért megtalálhatjuk a szegmensek arányát egy és degy szegmens kifejezését BF a háromszögek koszinus tétele szerint ABF és CBF:

(^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Átalakítás, kapunk

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Másrészt megtaláljuk a szegmensek arányát egy és degy szegmens kifejezését AC a háromszögek koszinus tétele szerint ABC és AFC:

\ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Ha a \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), vagyis ha az ötszög eltér a miénktől, a következő egyenlethez jutunk:

{2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} \ frac % % {\ cos2 \ varphi}. \]

Különösen itt látható, hogy ez csak a \ (\ cos2 \ varphi <0 \) esetén lehetséges, és

(2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2) \ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac { \ varphi-1) ^ 2}. \]

Az utolsó egyenlet csak véges számú megoldást tartalmazhat. Így a kérdéses burkolat "kemény".


utószó

Mindezek a feladatok részeként fentebb tárgyalt összes csempék alapvetően egy sokszöglemezt használtak. Átmásoltuk ezt a lapkát, majd fedeztük az egész gépet másolatok nélkül, hiányok és fedvények nélkül. Ezeket a csempéket hívják monoedralnymiés az alapul szolgáló sokszög protoplitkoy. Mint láttuk, annak ellenére, hogy tiltották a különböző típusú csempék használatát, a kapott képek nagyon változatosak voltak. Sok esetben a prototípusú csempék határtalanul soknak bizonyulnak, ráadásul – számtalan számukra. Ugyanakkor más protoplicákhoz hasonlóan (például egy rendszeres hatszögnél) a csempézés egyedülálló, és néhány protoplíma egyáltalán nem engedélyezi a csempézést.

Természetes lenne, hogy megkérdezzük, hogyan lehet egy adott sokszög formájában megérteni, hogy lehetséges-e egy sík csempézése a másolatokkal. Azonban az algoritmus, amely lehetővé tenné a kérdés megválaszolását, miután kapott egy csempe a bejáratnál, és a kimenet, amely az eredményt "igen" vagy "nem" eredményezte, az emberiség számára ismeretlen. Ezenfelül komoly okok merülnek fel arra, hogy kétségbe vonják, hogy elvben létezik. Röviden megvitatjuk, hogy mi akadályozza ezt. Ehhez hasznos lesz legalább felületesen megismerkedni a csempék szimmetriatípusával.

szimmetria Ezt a csempét úgy nevezik, hogy a sík olyan mozgását jelenti, amely ezt a burkolást önmagába fordítja. Szorosan, ha hosszú ideig nézte a döntetlent, aztán elfordult,de valaki a háta mögött áthelyezte a csempeit, hogy először megmaradjon a csempe közötti távolság, másodszor pedig megforduljon, és nem találja a különbséget – ez szimmetria. Ha a burkolólap szimmetriájának halmaza között két nem irányított párhuzamos fordítás található, akkor ezt a burkolást hívják időszakos. Például a 3. ábrán látható csempék. 6., 7., 10. és 11., sőt minden olyan csontozat, amelyet eddig vitattunk. Mindazonáltal mindezen példákban könnyű átrendezni a burkolólapokat, hogy ez a tulajdonság már nem érvényes.

A periódusos burkolatokat az úgynevezett jelenléte jellemzi alapvető terület – a csempe olyan részhalmaza, amelyet az alátét párhuzamos átvitelével az összes burkolat nyerhet (ezek csak a "szalagok", amelyeket a határozat említ). Ezért, próbálva megválaszolni azt a kérdést, hogy lehetséges-e az egész sík elrendezése a protoplika másolatával, akkor természetes, hogy a következőképpen jár el. Minden lehetséges megoldást meg kell oldani, egymásba illesztve a burkolólapokat, és ha egy bizonyos ponton egy alapvető terület keletkezik, akkor van egy csempézés.És ha felsoroljuk az összes lehetőséget, de nem találunk alapvető területet, akkor ez a prototípus nem engedélyezi a csempézést.

Ennek a keresési módnak azonban jelentős hátránya van. Hirtelen a mi protoplica jött létre aperiodikus, vagyis lehetséges, hogy az egész síkot a másolatokkal köti össze, de ezek a csempék nem periodikusak? Ezután minden olyan módon, hogy csatlakozzon a csempékhez, soha nem megyünk át, mert egy tetszőlegesen nagy méretű darabot fedezhetünk fel. De nem leszünk képesek alapvető területet találni, mert nincs periodikus döntetlen. Így végigmennek a lehetőségek a végtelenségig és soha nem hagyjuk abba.

Függetlenül attól, hogy vannak aperiodikus protoplátok, jelenleg nem bizonyosak bizonyosak – ezt a tényt feltételezve conway hipotézis még nem bizonyított. Tehát még mindig van némi valószínűség, hogy a fenti algoritmus lehetővé teszi számunkra, hogy megválaszoljuk azt a kérdést, hogy lehetséges-e ez a protoplita alapú burkolat építése vagy sem. Háromdimenziós térben azonban hasonló hipotézist sikerült megoldani, és a Lobachevsky síkban is. Ezenkívül megnöveltük a használt protoplicák számát kettőre, mivel azonnal felfedezzük az aperiódikus készlet példáját – a híres Penrose mozaikot (12.

Ábra. 12. Penrose mozaik.Kép a ru.wikipedia.org-tól

Ha nincs bizonyosság arra, hogy mindig lehet-e megérteni egy adott cseréptől, függetlenül attól, hogy elismeri-e a gép padlóburkolatát vagy sem, akkor próbáljon meg egy kevésbé általános esetet megfontolni, és korlátozni a protoplót. Először is feltételezzük, hogy a csempézést alkotó poligonok konvexek. Ez az állapot meglehetősen erősnek bizonyul: kiderül, hogy a domború burkolatszámú oldalak száma, amelyek bevonják a burkolást, nem haladja meg a 6-ot. Ugyanakkor itt is komoly nehézségek vannak.

Ábra. 13.

Gyorsan biztosítható, hogy az egész sík háromszög-másolatokkal, valamint bármely négyszög-másolat másolatával lefedje – itt sem szükséges a konvexitás (13. A pentagonokkal azonban nem minden egyszerű. A pentagonokból álló monohedral csempék tanulmányozása gazdag történelemmel bír, és még most sem teljesen biztos, hogy ez a feladat logikus következtetést von maga után. Nyilvánvalóan Carl Reinhard volt az első, aki 1918-ban osztályozta ötféle konvex ötszögű csempét (14. Mindegyik típust az oldalakon és a sarkokban bizonyos feltételekkel jellemezték, amelyek azonban bizonyos szabadságot hagytak – ezek a csempék "nem merevek".Fél évszázaddal később, 1968-ban Richard Kirchner tájékoztatta a világot a három különböző típusú csempék felfedezéséről, azt állítva, hogy mind a nyolc fajta mindent kimerült. Azonban tévedett: 1975-ben Richard James, miután elolvasta egy cikket a híres sci-fi népszerűsítő, Martin Gardner, talált egy másik típust. De a következő két évben egy igazi áttörést készített a háziasszony, Marjorie Rice, aki ugyanazt a cikket olvasta – sikerült megtalálnia annyi, mint négy új típusú monohedral csempét konvex ötszögekkel.

Ábra. 14. A sík 15 kúpkerekítése pentagonokkal. Kép forbes.com-ból

A történet azonban nem ér véget oda: a tizennegyedik emelvényt Rolf Stein 1985-ben találta meg – a korábbiaktól eltérően, "kemény" volt. Harminc évvel később Casey Mann, Jeniffer MacLeod és David von Durey számítógépes számításokból álló kutatócsoport felfedezte a tizenötödik járdát, amely szintén nem volt szabadsága. Végül 2017-ben Michael Rao bizonyítékot szolgáltatott arról, hogy nincs más pentagonális csontozat. Azonban annak bizonyítására Rao egy speciálisan írott számítógépes programot használt, amely bizonyos szkepticizmust okozott a tudományos közösség egy részében, bár önállóan reprodukálták és ellenőrizték.

A monohedral csempék osztályozásának másik megközelítése azon a tényen alapul, hogy a csempe tulajdonságaira összpontosítunk a szimmetriacsoport vonatkozásában. Ha a járdán két csempék között van egy olyan szimmetria, amely az első lapkát a másodikig veszi, akkor egy ilyen burkolat isohedral. Általánosabban azt mondjuk, hogy a felhalmozódás k-isohedralha a csempeinek halmaza megtörik k osztályok egy szimmetria csoport hatására. Például a 3. ábrán látható csempék. A 13 izoarészek, mert minden csempe átváltható bármelyik másikba párhuzamos transzferrel (ilyen lapok egy színben festettek) vagy forgatással (ilyen csempe különböző színekben festett). És a kört a rizsre. A 11-es már 2-izesoros: a sárga festett lapok egymásba alakíthatók úgy, hogy a csempézés önmagát kombinálja, ahogy a kék burkolólapok is lefordíthatók, de a kék lapkát nem lehet sárgára fordítani. Más megoldásokat is láttunk a megoldásban k-izoeredetű különböző k. Ezt látva átmásoljuk őket úgy, hogy a csempék a csempézés szimmetriájával lefordíthatók legyenek, majd csak akkor, haamikor egy színben festettek (mint az állapot kárpitozásával, amely, mint most már értjük, 3-izoaréna). Miután ezt megtettük, látjuk ezt az egyiket k = 8 (15. ábra, balra), a második k = 16 (15. ábra, jobbra), és a harmadik k = 10 (lásd a 15. ábrát).

Ábra. 15.

A domború sokszögekből álló izraelitikus csempék osztályozhatók. Tehát minden rendelkezésre áll:

  • 14 izraelitikus burkolatú háromszöglemez,
  • 56 izoéderes csempézés konvex négyszöglemezekkel,
  • 24 izraelitikus csempézés konvex pentagonális csempe,
  • 13 izraelitikus csempézés domború hatszögletű burkolólapokkal.

Alapvetően "nem merev" (ahogy a 13. ábrán látható). De ezek közül néhány deformáció alatt megszűnik az izraelre. Ilyen például a 2. ábrán látható csempézés. 16: a vízszintes csíkokat egymáshoz képest eltolhatjuk, de ezt követően a vízszintes alapú háromszöget nem alakíthatjuk szimmetriával ferde alappal.

Ábra. 16.

Osztályozásához k– izraelitikus burkolatok k > 1 is lehetséges. Mindazonáltal, csakúgy, mint a nem domború csempeburkolatok esetében, ez sokkal bonyolultabb, és a 2-izraelitikus burkolatok esetében már a 2-izéderes burkolatok esetében is nehéz látni az elágazási lehetőségek hatalmas számát. És a nagy értékekről k nem is fogunk beszélni.


Like this post? Please share to your friends:
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: