Patchwork asztalterítő • Evgeny Epifanov • Népszerű tudományos feladatok a "Elemeken" • Matematika

Patchwork asztalterítő

feladat

Az őrült tea buli asztalán Alice felfedezte, hogy az asztalterítő festett. Barátai nem fogják ezt elviselni, és tényleg hamarosan eljönnek – akár 6 óra is maradt néhány perc. Általában nincs idő mosni, és az asztalt valamivel le kell fedni. Szerencsére Alice talált tíz darab szövetet, amiből sikerül varrni egy új terítőt. Az asztalterítőnek kétszeresnek kell lennie (azaz kétszer kell lefednie a tábla minden pontját) annak érdekében, hogy ellenálljon a következő teafogyasztásnak. Megbirkózni fog Alice, ha az asztal négyzet alakú négyzet, és a rongyok 1-es területű négyzetek? A darabokat úgy lehet összehajtogatni, ahogy tetszik, de nem tudod könnyelni őket (Alice nincs olló).


segít

Alice képes kezelni és varrni a kívánt asztalterítőt. Ezt az a tény is segíti, hogy az asztal egy négyzet, amelynek területe 5 és oldala \ (\ sqrt5 \), és ez a szám boldog egybeesés esetén megegyezik egy derékszögű háromszög hipotenszusával az 1-es és 2-es lábakkal.


döntés

Az ábrát az 1. ábrán mutatjuk be. 1: először varrni kell egy 3 x 3 négyzetből álló 9 foltot, majd a derékszögű háromszögek által létrehozott sarkokat a 2-es és a 1-es lábakkal kell megcsavarni (majd az abrosz szegélyének részeiből álló részek lesznek \ (\ sqrt5 \)), és majd varrni a fennmaradó tizedik szelet közepén.A hajlított sarkok lábai egymásba hajóznak, így középen csak egy 1 × 1 négyzet lesz.

Ábra. 1. Ez egy kétrétegű asztalterítő egy négyzet alakú asztalhoz, amelynek területe 5. A tapasz egyik oldala narancssárga, a másik zöld.


utószó

Ezt a problémát V. Arbitrariness javasolta (az M1755 szám alatt a "Quanta" a "Quant" "egy kissé eltérő összetételű, de a lényeg pontosan ugyanaz). A szerző megoldása némiképp különbözik a felülvizsgáltól: öt különböző négyzetes négyzetet vettünk át, hogy bizonyos sarkokat hajtson végre egy bizonyos módon, és ezeket a kereszteződéseket egyesítsük egymással (2.

Ábra. 2. Egy másik megoldás a tíz folt problémájára. M .: Petkova M. "Kvant szalvéták" és a pitagorész tétel ("2012 Kvantum" 3. száma)

A probléma megoldását M. Petkova a "Quantum szalvéta" című cikkében és a Pitagorai tételben (a Quantum No. 3 2012-ben megjelentetett cikkében) javasolta. Kicsit váratlan, hogy a Pitagorai tétel geometriai bizonyítéka inspirálta hosszú időn át: egy négyszögletes, derékszögű háromszöget kell megtennie a lábakkal. egyb és hypotenuse c és hajtsa be őket úgy, hogy a hypotenuse négyzetek (3.Aztán a közepén egy lyuk lesz – egy négyzet az oldalával egyb. Továbbra is a terület számítása: \ (c ^ 2 = 4 \ frac % 2+ (a-b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. \

Ábra. 3. A Pitagorai tétel bizonyítása és a probléma megoldásának konstrukciója. M. Petkova "Kvantum szalvéta" és a pitagorai tétel "(" Quant "No. 3 2012-es cikk)

Ha azonban mindegyik téglalap alakú háromszög tükröződik ebben a konstrukcióban a hipoténuszhoz viszonyítva, akkor az építkezés "kibontakozik", és hasonlóvá válik a megoldáshoz (3. Ábra jobbra).

Az út során ez az eredmény is előállítható: a beírt tér területe megegyezik egy nagy négyzet és egy kis fehér négyzet félösszegével. Ez a tény segít más hasonló lefedettségi problémák megoldásában is:
1. (M1905 feladat, V. választottbíráskodás) Fedje le az 5 × 5 négyzet alakú asztalt két rétegben, 50 1 × 1 szögletes szalvétával úgy, hogy egyik szalag egyik széle ne feküdjön az asztal szélén.
2. (M1944 feladat, V. Prodolov) Hogyan lehet négy négyzet alakú négyszögletes szalvéta négyzet alakú négyzetet lefedni, melynek területe 4?

Próbáld meg megoldani ezeket a problémákat önmagaddal.

Kiderül, hogy viszonylag könnyű válaszolni az általános kérdésre: mely szerint természetes n négyzet alakú táblaterület n két rétegben lefedhető 2n négyzetes szalvéta terület 1? A válasz: ilyen n, amely két egész szám négyzetösszegeként jelenik meg (láthatjuk a pitagorai tétel láthatatlan jelenlétét, nem?). A teljes bizonyíték megtalálható a Petkova által megjelölt cikkben, csak megjegyezzük, hogy egy nagyon elegáns, a sík parkettára vonatkozó érvelésen alapul.


Like this post? Please share to your friends:
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: