V = S = P • Nikolay Avilov • Népszerű tudományos problémák a "Elemeken" • Matematika

V = S = P

feladat

Van egy konvex poliéder, amelynek számszerű értékei a térfogat, a felületi terület és az összes széle hosszának összege egybeesnek?


segít

Ilyen poliéder létezik például a helyes prizmák között.


döntés

A tippet után keressen megfelelő prizmát. A helyes prizmát a szám határozza meg n az alsó poligon oldalai egy és magas h.

Az összes éle hosszának összege:

\ [P = 2na + nh. \]

Mivel a bázis poligon rendszeres, a terület könnyen megtalálható, \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \). Most könnyű megtalálni a problémát megjelenítő prizma paramétereit.

A hangereje V egyenlő:

\ Frac {\ pi} n \ cdot h \ \ \ frac {\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \ \

Felület S egyenlő:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

Az egyenlőségből V = S hogy \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). ennélfogva h > 2. A kötet kifejezését is átírhatja a \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \ formában.

Az egyenlőségből V = P a kapcsolatok \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) és

\ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \

Nyilvánvaló, hogy a \ ((0; \; {+ \ infty}) intervallum \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) minden pozitív értéket (és nincs más). Ezért a keresett prizmus létezéséhez szükséges és elégséges feltétel olyan, hogy az \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \) egyenlőtlenség áll, ami igaz a \ (n> 12 \) -re.


utószó

Lássuk, mi történik hasonló helyzetben a gépen. Például 4 × 4 négyzetméteren a terület és a kerület számértékek azonosak. Ugyanaz a tulajdonsága egy 3 × 6 téglalap és egy jobb háromszög az 5 és 12 lábakkal (1.

Ábra. 1.

Mint tudják, a téglalap nem merev alak: ha csúcspontjait helyezi el, nem rögzítik magukban (mint például háromszög vagy tetraéder esetén). Ezzel kimutatható, hogy van párhuzamogram a terület és a kerület egyenlő értékeivel. Könnyű megtalálni a téglalapot, amelynek területe nagyobb, mint a kerület: a téglalap 8 és 5. oldala illeszkedik Ha a téglalap egyik szögét fokozatosan 90 ° -ról 0 ° -ra csökkentjük, akkor először a téglalap azonnal párhuzamosra változik, a perem pedig 26, és másodszor, a területe folyamatosan csökken 40-ről 0-ra, és egy bizonyos időpontban egyenlő lesz a 26. Ez lesz a szükséges paralelogramma. Ez a folyamat négyszögletes keretmodellben jelenik meg (2. Nyilvánvaló, hogy ezek a párhuzamok végtelenül sokak.

Ábra. 2.

Megmutatjuk, hogy végtelen sok háromszög van, amelyekben a terület és a kerület számtani értékei egyenlők.Minden háromszöget osztályokba sorolunk, amelyek mindegyike tartalmazza az összes hasonló háromszöget. Kiderült, hogy minden ilyen csoport egy háromszög, amelyben a számszerű értékek terület és kerület egyenlő. Vegye figyelembe az egyik osztály háromszögét. Hagyja a területét S1és a perem P1, akkor egy hasonló háromszög egy együtthatóval k van egy területe S2 = k2S1 és kerülete P2 = kP1. Ha a hasonlóság együtthatója k = P1/S1, Kapunk egy háromszög, amely \ (S_2 = P_2 = \ frac {p_1 ^ 2} {S_1} \). Amire szükség volt.

Például vegye az egyiptomi háromszöget. Kerülete \ (p_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \), és az a terület \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Egy ilyen hasonlósági koefficiens vele háromszög 2 lesz a jelzett tulajdonság: egy téglalap alakú háromszög lábakkal 6. és 8. (3. ábra, balra.). Az egyenlő oldalú háromszögek is figyelembe vehetők. Ezek közül, a kívánt tulajdonság egy háromszög egy oldalsó \ (4 \ sqrt % \) terület és kerület egyenlő \ (12 \ sqrt % \).

Ábra. 3.

Hasonló módon vitatkozva kimutatható, hogy a hasonló poligonok minden osztályában létezik olyan, amelyben a terület és a kerület számtani értékei egyenlők.

Háromdimenziós térben természetes, hogy a kötet egyenlőségére vonatkozó feltételt adunk hozzá, ahogy azt a probléma megfogalmazásában is elvégeztük.A megoldásból nyilvánvaló, hogy nem minden "típusú" polyhedron lehetővé teszi a térfogat, a felület és az élek teljes hosszának egyenlőségét: a helyes n-karbon prizmák n <12 nincs.

Különösen nincs ilyen kocka és négyszögletes párhuzamos (mivel ezek négyszögletes prizmák). Az ilyen poliéderek esetében azonban könnyű elvégezni a fej-ellenőrzést. Például egy kockához hasonlóan történik. Cube with edge egy van egy kötet V = egy3felület S = 6egy2 és az élhosszak összege P = 12egy. ha S = P, majd 6egy2 = 12egyazaz egy = 2. De akkor S = P = 24, és V = 8.

Mindazonáltal néhány polyhedr esetében a háromszöghez hasonló érvelés működhet. Ha úgy gondoljuk, hogy az összes poliéder hasonló, akkor a szélek hosszának összege a hasonlósági együttható első fokától függően változik, a felületi terület arányos a második fokozattal, és a térfogat arányos lesz a harmadik fokozattal. Vagyis a probléma csökkenti ezt a kérdést: a megfelelő sorok, parabolák és kockák egymáshoz metszenek egy ponton? A poliéder alakjának ilyen formában történő megváltozása megfelel ezeknek a görbéknek a síkbeli elmozdulásaiban.És nagyon nyilvánvaló, hogy egyes esetekben elhelyezhetők úgy, hogy egy ponton metszenek. De lehetséges-e valahogyan ésszerűen leírni az összes vonatkozó poliédert? … Ha ötlete van ezzel a témával kapcsolatban – írd meg a megjegyzéseket a problémára!


Like this post? Please share to your friends:
Vélemény, hozzászólás?

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: